Aplet „Dwuwymiarowy rozkład Poissona” przedstawia, zgodnie z nazwą, dyskretny łączny rozkład prawdopodobieństwa dwóch zmiennych zwany dwuwymiarowym rozkładem Poissona. Rozkład ten dany jest wzorem
gdzie q1 i q2 to wartości oczekiwane (równe parametrom) jednowymiarowych rozkładów Poissona odpowiednio dla zmiennej X i Y, zaś q0 opisuje kowariancję pomiędzy tymi zmiennymi. Współczynnik korelacji corr(X,Y) wynosi r= q0 / sqrt( (q1+q0)*(q2+q0) ).
Aplet pozwala na wybór parametrów q1, q2 oraz współczynnika korelacji r, co jest równoznaczne z wyborem q0 . Górny rysunek przedstawia wynikający z tych danych dwuwymiarowy rozkład Poissona obliczony z wykorzystaniem wzoru analitycznego. Oczywiście jest to rozkład dyskretny (a więc różny od zera tylko dla punktów (x,y) o wartościach całkowitych nieujemnych), jednak dla większej przejrzystości rysowany jest za pomocą prostopadłościanów.
Dolny rysunek prezentuje wynik generatora liczb pseudolosowych działających według algorytmu przedstawionego w I.Yahav, G.Shmueli Appl. Stochastic Models Bus. Ind. 2011, DOI: 10.1002/asmb.901 (w wersji bez poprawek ze wzorów 5 i 6, przedstawionego w pierwszej części Dodatku A jako skrypt R). Aby uruchomić ten generator należy suwakiem wybrać „N_max”- ilość generowanych par liczb (x,y) i wybrać „RUN”. Aplet wypisuje również w tabeli wartości par (x,y) które zostały wylosowane co najmniej raz i krotność pojawienia się tej liczby. Krotność ta po podzieleniu przez N_max jest równa częstotliwości wylosowania danej pary (x,y) i w granicy dużych N_max dąży do prawdopodobieństwa teoretycznego. Porównując wykres teoretyczny i zbudowany z wygenerowanych liczb pseudolosowych widzimy poprawność działania algorytmu i jego dobrą jakość. Tym niemniej przyjęty algorytm generacji liczb pseudolosowych dwuwymiarowego rozkładu Poissona narzuca ograniczenie na współczynnik korelacji 0<r<min{ q1/ q2 , q2/ q1}. Istnieją rozszerzenia obejmujące np. ujemne współczynniki korelacji.
Wspomniany powyżej algorytm działa na zasadzie NORTA (Normal to anything) – startujemy z rozkładu normalnego dwóch zmiennych o zadanej korelacji i przechodzimy, w tym przypadku, do rozkładu dwuwymiarowego Poissona. Aby wygenerować dwuwymiarowy skorelowany rozkład normalny generujemy naprzód dwie liczby Z0 i Z1 z niezależnych rozkładów N(0,1) metodą Box-Mullera. Następnie obliczamy A1=Sqrt(q1)*Z0+q1 oraz A2=Sqrt(q2)*(r*Z0+Sqrt(1-r2)*Z1)+q2. Zmienna A1 ma rozkład N(q1, q1), zmienna A2 ma rozkład N(q2, q2) a korelacja pomiędzy nimi wynosi r. Następnie obliczamy wartości dystrybuant obu tych rozkładów F1(A1), F2(A2) odpowiednio w punktach A1 i A2. W ostatnim kroku obliczamy wartości odwrotne do dystrybuant jednowymiarowych rozkładów Poissona o parametrach q1 i q2, odpowiednio w punktach F1(A1) i F2(A2). Otrzymane liczby tworzą parę (x,y) która ma rozkład dwuwymiarowy Poissona z zadanymi parametrami q1, q2 i r. Ponieważ dystrybuanta rozkładu Poissona o parametrze q1 w dowolnym punkcie M jest sumą po k=0,1,2,…,M prawdopodobieństw danych rozkładem Poissona P(k)=exp(-q1)* (q1k)/(k!) obliczanie wartości odwrotnej do dystrybuanty rozkładu Poissona sprowadza się do obliczania sumy P(k) po k i przerwania jej gdy suma stanie się większa od F1(A1). Otrzymana tak wartość całkowita k jest przypisywana zmiennej X. Analogiczne obliczenie z wykorzystaniem dystrybuanty rozkładu Poissona o parametrze q2 oraz F2(A2) prowadzi do innej wartości k, którą utożsamiamy z wartością zmiennej losowej Y. Aby wyznaczyć kolejną parę (x,y) powtarzamy powyższą procedurę losując nowe liczby Z0 i Z1. Całość potarzamy N_max razy.
Proszę zaobserwować zmiany kształtu dwuwymiarowego rozkładu Poissona w zależności od jego parametrów. W szczególności widzimy, że dla dużych wartości q1 i q2 kształt zaczyna przypominać dwuwymiarowy rozkład normalny z zadaną korelacją. Proszę zobaczyć również skrajne przypadki bardzo małych wartości q1 i q2 (jednej lub obydwu).