Dystrybuanta Rozkładu Normalnego
Aplet „Dystrybuanta rozkładu normalnego” przedstawia pięć metod obliczania dystrybuanty rozkładu normalnego N(mu,sigma^2).
Proszę zwrócić uwagę na różnicę w otrzymanym wyniku dla metod 3 i 4 oraz na brak tej różnicy dla metod 1,2 i 5.
1. CNR(x) to całkowanie numeryczne metodą prostokątów funkcji gęstości prawdopodobieństwa rozkładu N(0,1). W tym przypadku całkowanie odbywa się w przedziale od mu-8*sigma do x a liczba użytych punktów wynosi 10^8. Tak obliczona dystrybuanta na wykresie pokazana jest jako linia czarna.
2. F(x) to obliczenie dystrybuanty używające standardowej sposobu obliczania funkcji błędu (error function), korzystającej z funkcji gamma.
Dokładniejszy opis (dla Javascript) można znaleźć pod adresem:
http://stackoverflow.com/questions/457408/is-there-an-easily-available-implementation-of-erf-for-python
a algorytm korzysta ze wzorów z „Handbook of Mathematical Functions” (ed. M.Abramowitz i I.Stegun)
Dla Java opis jest pod adresem
http://commons.apache.org/math/apidocs/org/apache/commons/math/special/Erf.html
Tak obliczona dystrybuanta na wykresie pokazana jest jako linia pomarańczowa.
3. F1(x) ta metoda korzysta z przybliżonego wzoru:
F1(x)=0.5 + 0.5 * Sqrt [ 1-Exp[-2x^2/Pi]] dla x nieujemnych
F1(x)=0.5 - 0.5 * Sqrt [ 1-Exp[-2x^2/Pi]] dla x ujemnych
Tak obliczona dystrybuanta na wykresie pokazana jest jako linia czerwona.
4. F2(x) ta metoda korzysta z przybliżonego wzoru:
F2(x)=0.5 + 0.5 * Sqrt [ 1-Exp[-2x^2/Pi]-(2*(Pi-3)/(3*Pi^2))*x^4*Exp[-0.5*x^2]] dla x nieujemnych
F1(x)=0.5 - 0.5 * Sqrt [ 1-Exp[-2x^2/Pi]-(2*(Pi-3)/(3*Pi^2))*x^4*Exp[-0.5*x^2]] dla x ujemnych
Tak obliczona dystrybuanta na wykresie pokazana jest jako linia żółta.
5. F3(x) to średnia
F3(x)=( F1(x)+F2(x) )/2
Tak obliczona dystrybuanta na wykresie pokazana jest jako linia jasnoniebieska.
