Elipsa kowariancji

Aplet "Elipsa kowariancji" dotyczy dwuwymiarowego rozkładu normalnego zmiennych X i Y i prezentuje elipsy odpowiadające stałym wartościom łącznej funkcji gęstości prawdopodobieństwa fXY(x,y), zgodnie ze wzorem podanym na wykładzie. Odpowiadają one zatem poziomicom dwuwymiarowego rozkładu normalnego.



Użytkownik wybiera:
  1. w pierwszym wierszu: parametry dwuwymiarowego rozkładu normalnego, a więc wartość oczekiwaną zmiennej losowej X: E(X)=mu_X, wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y: E(Y)=mu_Y, odchylenie standardowe zmiennej losowej X: sigma_X, odchylenie standardowe zmiennej losowej Y: sigma_Y oraz współczynnik korelacji zmiennych losowych X i Y: rho.
  2. w drugim wierszu: wartości stałych skalujących elipsę. Użytkownik może podać pięć różnych wartości const_1,?,const_5 o odpowiednie elipsy są rysowane w kolorach kolejno: żółtym, niebieskim, zielonym, czerwonym i czarnym.
  3. w trzecim wierszu: opcjonalnie można dopasować zakres osi X i Y.

Po wykonaniu "CALCULATE" rysowane są odpowiednie elipsy, a po wykonaniu "Apply" dopasowywane są osie wykresu.

Określonym wartościom stałych const_i odpowiadają stałe prawdopodobieństwa znalezienia wektora losowego (x,y) wewnątrz elipsy, przykładowo:



  • dla const=0.5 P( (x,y) jest wewnątrz elipsy)=0.2212
  • dla const=1.0 P( (x,y) jest wewnątrz elipsy)=0.3935 (elipsa kowariancji)
  • dla const=1.3861 P( (x,y) jest wewnątrz elipsy)=0.5000
  • dla const=1.5 P( (x,y) jest wewnątrz elipsy)=0.5276
  • dla const=2.0 P( (x,y) jest wewnątrz elipsy)=0.6321
  • dla const=3.0 P( (x,y) jest wewnątrz elipsy)=0.7769
  • dla const=4.0 P( (x,y) jest wewnątrz elipsy)=0.8647
  • dla const=10.0 P( (x,y) jest wewnątrz elipsy)=0.9933


Proszę zaobserwować zmianę kształtu i położeń elips w zależności od parametrów dwuwymiarowego rozkładu normalnego. Proszę również zastanowić się jak wyliczyć powyższe prawdopodobieństwa i napisać odpowiedni program (lub np. skrypt programu Mathematica).