Regresja wielomianami Legendre'a

Aplet „Regresja wielomianami Legendre’a” jest odpowiednikiem apletu „Regresja krzywoliniowa” lecz pokazuje, że w miejsce zwykłego wielomianu postaci y=a0+a1*x+a2*x^2+… dopasowywać możemy kombinację liniową dowolnych wielomianów ortogonalnych, np. wielomianów Legendre’a P_j: y=a0*P_0+a1*P_1+a2*P2+… . Po wybraniu rzędu wielomianu (opcją „Order of polynomial”) i wybraniu opcji „Polynomials” aplet przypomina użytkownikom jaki jest ich przebieg w dziedzinie -1<X<1 (przypominam, że w tej dziedzinie są one ortogonalne).
Jak w innych apletach dotyczących regresji zabawę z apletem należy zacząć od podania zbioru punktów, do których będzie dopasowywana funkcja y=a0*P_0+a1*P_1+a2*P2+… . Również tu można tego dokonać na trzy sposoby:
a) wpisując wartości współrzędnych punktów w polach „X-coord” i „Y-coord” oraz wartość niepewności w polu„ErrorY”, a następnie wybierając przycisk „Add Point”. Czynność tę należy powtórzyć dla wszystkich punktów do których będziemy dopasowywać wielomian.
b) dodając punkty za pomocą myszki. W tym celu należy naprzód wybrać opcję „Click ON”. Następnie należy ustawić wartość niepewności w polu „ErrorY”, i dodać punkt na wykresie poprzez kliknięcie myszką.
c) wczytując odpowiednie dane ze zbioru (opcja „Add file”): w kolejnych wierszach powinny być podane kolejno wartości X-coord, Y-coord, ErrorX, ErrorY oddzielone przecinkami. Przykładowe dwie linie zbioru wyglądają następująco:
1,8.3,0.1,4
2,17.3,0.2,3.5
W czasie wykonania apletu pomijane są wartości ErrorX, jednak zostały zachowane w strukturze zbioru aby możliwe było korzystanie z tego samego zbioru wejściowego w innych apletach poświęconych regresji. Punkty możemy usuwać przez równoczesne naciśnięcie klawisza „Ctrl” i kliknięciu na punkt myszką.
Po wyborze stopnia wielomianu (parametr „Order of polinomial”) można poprzez naciśnięcie „RUN” wykonać regresję. Wykonywana przez aplet regresja krzywoliniowa bazuje on na wzorach wyprowadzanych na wykładzie, P=(A^T B A)^(-1) A^T B Y i C(P)=[(A^T B A)^(-1) A^T B]C(Y)[(A^T B A)^(-1) A^T B]^T gdzie P to wektor parametrów, C(X) to macierz kowariancji zmiennej X, a macierze A i B były zdefiniowane na wykładzie. T oznacza transpozycje, a (-1) odwracanie macierzy. W dolnej części wypisywane są otrzymane wyniki – współczynnik theta(j) to współczynnik stojący przy wielomianie Legendre’a stopnia j. Aplet pozwala również prześledzić zbieżność sumy a0*P_0+a1*P_1+a2*P2+… do sumy kończącej się na wielomianie P(„Order of polynomial”). W tym celu należy wybrać opcję „ShowAll”.
Podczas zabawy z apletem proszę zbadać do jakiego rzędu wielomianów Legendre’a należy rozciągnąć sumę a0*P_0+a1*P_1+a2*P2+… aby uzyskać satysfakcjonujący opis danych i porównać ją (dla tych samych danych) ze stopniem wielomianu potrzebnego do opisu danych w aplecie „Regresja krzywoliniowa”. Czy zależy to od rozkładu punktów do których dopasowujemy krzywe?