Regresja krzywoliniowa - niepewności

Aplet „Regresja krzywoliniowa – niepewności” ilustruje jak niepewności swobodnych parametrów otrzymanych w trakcie wykonywania regresji krzywoliniowej wpływają na kształt dopasowanych krzywych. Podaje również dane liczbowe: macierz kowariancji dopasowanych parametrów wielomianu. Jak w aplecie „Regresja krzywoliniowa” dopasowywany jest wielomian stopnia danego przez parametr „Order of polinom” będącego najwyższą potęgą zmiennej X, do zadanego zbioru punktów. Podobnie jak w przypadku apletu „Regresja liniowa” pierwszym krokiem jaki należy wykonać jest dodanie punktów (wraz z niepewnościami dla zmiennej Y). Można tego dokonać na trzy sposoby:
a) wpisując wartości współrzędnych punktów w polach „X-coord” i „Y-coord” oraz wartość niepewności w polu„ErrorY”, a następnie wybierając przycisk „Add Point”. Czynność tę należy powtórzyć dla wszystkich punktów do których będziemy dopasowywać wielomian.
b) dodając punkty za pomocą myszki. W tym celu należy naprzód wybrać opcję „Click ON”. Następnie należy ustawić wartość niepewności w polu „ErrorY”, i dodać punkt na wykresie poprzez kliknięcie myszką.
c) wczytując odpowiednie dane ze zbioru (opcja „Add file”): w kolejnych wierszach powinny być podane kolejno wartości X-coord, Y-coord, ErrorX, ErrorY oddzielone przecinkami. Przykładowe dwie linie zbioru wyglądają następująco:
1,8.3,0.1,4
2,17.3,0.2,3.5

W czasie wykonania apletu pomijane są wartości ErrorX, jednak zostały zachowane w strukturze zbioru aby możliwe było korzystanie z tego samego zbioru wejściowego w apletach „Regresja liniowa” i „Regresja krzywoliniowa”. Punkty możemy usuwać przez równoczesne naciśnięcie klawisza „Ctrl” i kliknięciu na punkt myszką. Po wyborze stopnia wielomianu (parametr „Order of polinom”) i można poprzez naciśnięcie „RUN” wykonać regresję.
Wykonywana przez aplet regresja krzywoliniowa bazuje on na wzorach wyprowadzanych na wykładzie, P=(A^T B A)^(-1) A^T B Y i C(P)=[(A^T B A)^(-1) A^T B]C(Y)[(A^T B A)^(-1) A^T B]^T gdzie P to wektor parametrów, C(X) to macierz kowariancji zmiennej X, a macierze A i B były zdefiniowane na wykładzie. T oznacza transpozycje, a (-1) odwracanie macierzy. Wzór na wynikową macierz kowariancji parametrów wielomianu również był podany na wykładzie Cov(P)=HCov(Y)H^T gdzie H=(A^T B A)^(-1) A^T B, Cov(P) to szukana macierz kowariancji parametrów wielomianu, Cov(Y) to macierz kowariancji wektora Y. W aplecie zakładamy, że poszczególne punkty Y_i, Y_j nie są skorelowane.
W dolnej części wypisywane są otrzymane wyniki – współczynnik theta(j) to współczynnik stojący przy j-tej potędze zmiennej X w szukanym wielomianie, a poniżej widzimy macierz kowariancji tych parametrów. Aplet pozwala na rysowanie wszystkich lub tylko wybranych krzywych uwzględniających niepewności parametrów wielomianu. Opcje przedstawione w linii „Lines” pozwalają na wybór:
- opcja „All”: wszystkich linii budowanych z kombinacji theta(j)+/-Stheta(j), gdzie Stheta(j) to odchylenie standardowe parametru theta(j) pomnożone przez odpowiedni kwantyl rozkładu t-Studenta wynikający z wybranego poziomu ufności. Rysowana jest także linia odpowiadająca centralnym wartościom parametrów. Liczba rysowanych linii wynosi 2^(Order_of_polinom + 1) +1 (proszę zasanowić się dlaczego ?).
- opcja „Theta+” : rysowane są tylko wielomiany ze wszystkimi parametrami theta(j) powiększonymi o Stheta(j)
- opcja „Theta-” : rysowane są tylko wielomiany ze wszystkimi parametrami theta(j) pomniejszonymi o Stheta(j)
- opcja „Manual” pozwala wybrać znaki niepewności Stheta(j) dla każdego ze współczynników z osobna.
Proszę zapoznać się z działaniem tych opcji na przykładzie dopasowywania linii prostej („Order of polinom”=1).