Rozkład Weibulla
Aplet „Rozkład Weibulla” przedstawia omawianą na
wykładzie funkcję gęstości prawdopodobieństwa
wprowadzoną przez W.Weibulla w latach 50-tych XX wieku. Jest on
używane m.in. w analizie przeżyć i analizie
ubezpieczeń. Rozkład Weibulla ma dwa wolne, dodatnie parametry (k
i lambda) określające jego kształt i rozmiar. Funkcja
gęstości prawdopodobieństwa dana jest wzorem:
W(x; k, lambda) == f(x)= (k/lambda)*(x/lambda)^(k-1)*exp( -(x/lambda)^k )
dla x>=0 i f(x)=0 dla x<0.
Aplet w pierwszym rzędzie pozwala na zbadanie przebiegu funkcji
gęstości prawdopodobieństwa dla wybranych wartości
parametrów „k” i „lambda”. Aplet,
korzystając z analitycznego wzoru rysuje odpowiednią krzywą
(w kolorze niebieskim). Proszę zaobserwować silne zmiany
kształtu krzywych dla wartości parametru „k”
wokół k=1. W szczególności dla parametru
„k” osiągającego wartość 1 otrzymujemy
rozkład wykładniczy (proszę określić ile wynosi
parametr swobodny takiego rozkładu wykładniczego). Proszę
także zaobserwować jak dla dużych wartości
„k” rozkład Weibulla zaczyna przypominać rozkład
normalny. W prezentowanym aplecie warto to zrobić dla małych
wartości parametru „lambda” ze względu na
prezentowany zakres zmiennej x.
Aplet pozwala także zaobserwować jakość generatora liczb pseudolosowych o rozkładzie Weibulla działający w oparciu o generator liczb pseudolosowych o rozkładzie jednorodnym. Generator ten opiera się na zależności x=lambda*(-ln (u) )^(1/k) gdzie u jest zmienną losową o rozkładzie jednorodnym na przedziale (0,1). Wynikająca z tego wzoru zmienna losowa x ma rozkład Weibulla W(x; k, lambda). Wybierając za pomocą suwaka liczbę „N” - ilość generowanych liczb pseudolosowych i uruchamiając aplet (okno „RUN”) możemy zaobserwować na wykresie histogram wygenerowanych liczb pseudolosowych. Jak można zaobserwować już stosunkowo niewielka liczba „N” (rzędu kilkunastu tysięcy) prowadzi do prawidłowego oddania kształtu rozkładu Weibulla.
