Statystyki w rzucie monetą
Aplet ilustruje kilka różnych statystyk obecnych w rzucie monetą. Wybór ilustrowanego problemu dokonywany jest przez wybór jednego z trzech trybów (modów) działania: A, B lub C. We wszystkich przypadkach przyjęto, że prawdopodobieństwa wypadnięcia orła (O) i resztki (R) są sobie równe i wynoszą 0.5.
Tryb A:
W tym przypadku apletu ilustruje związek pomiędzy rozkładem dwumianowym a rozkładem geometrycznym. Otrzymywany w tym przypadku wykres pokazuje prawdopodobieństwo tego ile kolejek trzeba czekać na wypadnięcie orła (a więc równoważnie jaka jest długość serii reszek zanim wypadnie orzeł) w przypadku wyboru opcji 'Heads' oraz prawdopodobieństwo tego ile kolejek trzeba czekać na wypadnięcie resztki (analogicznie jest to długość serii orłów zanim wypadnie reszka) w przypadku opcji 'Tails'. Punkty teoretyczne (oddające prawdopodobieństwa rozkładu geometrycznego) dane są czerwonymi kropkami, punkty otrzymane w symulacji ilustrowane są kropkami niebieskimi. Jak można zaobserwować dla dużej liczby rzutów istotnie rozkład geometryczny jest bardzo dobrze oddawany. Użytkownik może wpisać własną liczbę rzutów monetą ('N of flips'). Zbyt mała liczba rzutów (np. 3) może doprowadzić do sytuacji w której nie otrzymamy ani jednej skończonej serii (tzn. nie obserwujemy żadnego przejścia O na R lub R na O) i wtedy wykres nie jest generowany.
Tryb B:
W tym przypadku aplet ilustruje rozkład prawdopodobieństwa liczby serii w rzucie monetą o długości danej liczbą 'N of flip', który powtarzamy 'Repeatings' razy. Liczba serii jest równoważna z liczbą przejść między orłem-resztką lub resztką-orłem. Na tak otrzymane prawdopodobieństwo nałożony jest wykres teoretyczny (czerwone punkty), który wyliczony jest jako (P(O)=P(R)=0.5):
P(S serii w A rzutach) = ( 2*(Symbol Newtona A-1 po S-1) )/ (2**A)
Jak można zaobserwować dla małej liczby powtórzeń (Repeatings) częstość eksperymentalna (niebieskie punkty) leży zwykle powyżej teoretycznej (czerwone punkty). Dla większych wartości 'Repeatings' takiego efektu już nie obserwujemy. Proszę pomyśleć co jest jego przyczyną.
Tryb C:
W tym przypadku aplet ilustruje maksymalną długość serii (orła bądź resztki) w bloku o długości do 10^(?Max N of flips?) (oś pozioma) uzyskaną podczas 50-cio krotnego powtórzenia losowania takiego bloku. Proponuję zaobserwować wykresy uzyskane z wartością ?Max N of flips? co najmniej 7 (w zależności od mocy komputera tworzenie wykresu dla wyższych wartości może trwać długo). Wykres ten dla dużych K zachowuje się jak funkcja logarytmiczna. Można to zobaczyć wybierając opcję 'Log' (oś X logarytmiczna) lub 'Lin' (oś X liniowa). Opcja 'Max' przedstawia przypadek gdy wybieramy najdłuższą serię wśród wszystkich 50 powtórzeń (dla ustalonej wartości X). Opcja 'Average' pokazuje przypadek gdy przedstawiana maksymalna długość serii dla ustalonego X jest średnią z 50 najdłuższych serii uzyskanych podczas 50-ciu powtórzeń. Jak można zauważyć w tym przypadku maksymalne długości serii są krótsze i układają się bliżej krzywej logarytmicznej. Można pokazać, że w przybliżeniu wartość oczekiwana maksymalnej długość serii w K rzutach wynosi log_(1/p)(K(1-p))+0.577/ln(1/p)-1/2 [wzór 5 w M.Schilling, The College Mathematics Journal, vol.21, no.3 (1990) 196].
